动态光散射检测电机转速的互信息函数分析

动态光散射检测电机转速的互信息函数分析

王沙,杨志安，任中京

(济南大学理学院，济南250022)

摘要：通过计算互信息函数,对动态光散射得到的电机转速的时间序列进行了分析。研究表明，互信息函数法能准确地测出电机转速。同时，由于互信息函数自身的优点-一能实际地反映出数据之间的相互关联，因此,与自相关函数法比较,互信息函数法可反映出更多的动力学信息。对实验数据的时间序列作了二维的相空间重构,从重构图形发现系统有2周期行为,并呈现有一些新现象。

关键词：光学测量;互信息函数；动态光散射；自相关函数；相空间重构

1引言

本文利用互信息函数对动态光散射法测电机转速的实验进行了研究，准确测出了电机的转速。本文对实验数据的时间序列作了二维的相空间重构，发现了一些新的现象并进行了讨论。这些结果是以往自相关函数法^[1]分析中所没有的，文中比较了互信息函数法与自相关函数法^[2]两种方法的优劣。

2原理

按Shannon的信息理论，设S表示一组讯号为S1 , S2 ,…，Sn的系统,出现Si的概率是P_s⁽nJ , i= 1,2,, n。对另一组讯号为q , qi, qn的系统Q ,出现qj的概率是Pq(qj) ,j= 1，2，n。q同时出现的概率是Psq (Si, qj)。互信息的定义为：

I(S, Q)度量的是变量S与Q之间的一般性关联程度,或比值P_sq(Si, qj) / P_s(Si) P_q(qj)的整体不平整程度。互信息越大，变量S与Q之间的关联程度越强，系统的不平整程度越高，系统越不均匀；互信息越小，变量S与Q之间的关联程度越弱，系统的不平整程度越低,系统越均匀。

在光子互信息法检测电机转速的实验研究中，主要关心的是测量数据随延迟时间T的周期性，从而得出电机的转速。在计算中对某给定的延迟时间T，令[s, q]=[x (t) , x (t+T)],这时互信息I是延迟时间T的函数。

因为电机转动是周期性的动力系统，其状态随时间的演化可表示成s=x(T)=sint,则延迟坐标可表示成q=x (t+T)=sin(t + T)，其中T是延迟时间。当延迟Ti= 0时,q=x (t+T)=sin(t + 0) = sin t，这时s与q是同一变量,s与q间的关联zui强,这时I( Ti；取极大值。设系统周期是r,当h=t时,q=x (t+t) = sin (t + t) = sin t,使互信肩、I(T2)又取极大值,则两个极大点之差乃Ti=t即为系统的周期。所以只要找出互信息I的两个相邻极大值所对应的极大点Ti和T2 ,其差值丁=T2 -Ti就是系统的周期。当周期t确定后，就可求出转速。另外利用由互信息I( T)的极大值来确定周期,易于辨别和计算。

3互信息的计算。

互信息I(S , Q)的计算可用等间距划分空间格子的方法进行：由给定的延迟时间T得到(s’q)，作出（s , q)平面，在(s’q)平面上重构出图形（例如后面的重构图7)，再在图形上对欲求互信息I(S，Q)所需的点集区域划出矩形框A。设^是A在s方向的长度,Aq是A在q方向的长度，然后把A再等间距地划分成小格子e。方向小格子的长度记为&_s’s方向小格子的数目为M，所以As=Me_s。同理,q方向小格子的长度记为eq, q方向小格子的数目为M^f，则A=M,e_q。在A中小格子e的总数为MXm'。设⁽a，b)是所划格子A的起始点，对米样点(s，q)作下述判断：

若满足

表明(s，q)在小格子ei中就进行一次记录，直到将所有的数据点全部搜寻一遍，记录落入标号为(i’j)的小格中所有的数据点同时记录落入范围在i -1到i内的点数N_s,和从j -1到j内的点数Nq,即可得到，P_sq(si’qj)=Nsq/ Ntotal，Ps (si)= Ns/ Ntotal ’ Pq ( qj) = Nq/ Ntotal ’其中Ntotal是全部采样点数。将Psq、q代入公式（1)就可求出在给定延迟时间T值下的互信息值I(S’Q)^[47]。

在测电机转速的实验中，由于电机所带动的转动圆盘不是*均匀的，在转动的过程中，从其上面散射的光就会呈现周期性。我们首先用探测器来接收这些散射光，得到散射光的时间序列；其次编制出计算互信息的程序，计算出给定延迟时间T值下的

互信息值I( T)，得出互信息函数曲线;zui后利用互信息函数曲线，求出转动的周期性，从而求出转速。

4实验装置

实验系统如图1所示。

图1实验系统结构示意图

取样点处的光子数随时间的变化

图3对实验数据的互信息处理（I-t图）

用直流电动机带动圆盘转动，电机转速可调。圆盘散射的光经过两个光阑及透镜图2的会聚由光电倍增管接收,:，

把光电数字信号进行互信息处理，就得出互信息曲线。

在一定的测量时间内，米集的光子数随

时间变化的曲线如图2所示。从图3可以看出互信息处理周期变化的信号显现了出来。

5由实验数据计算电机转速

对电机施加不同电压’电机得到不同转速。采集某一转速下随时间变化的光子数’用自编软件对采集到的数据计算互信息函数。对确定的延迟时间T,得到相应的互信息/值/对不同的延迟时间r,得到不同的互信息值，可得到互信息的函数曲线。分析互信息函数欠曲线的周期特性，可计算出相应的转速。

对一组数据的互信息曲线(如图3)进行相应转速计算：由互信息极大点可知圆盘转动周期为25*2ms，转速

n=60/(25 X2 X10"³) =1200(r/min)

所得结果与文献[2]所用的自相关函数(用R表示)

图4同一组实验数据的自相关函数图（R-t）

见图4)所计算出的电机转速相同。这说明把互信息函数法应用于动态光散射测电机转速的实验中，是可行的。

6相空间时间延迟重构原理

对时间序列进行动力学分析的一个前提，是必须有一个可用于工作的相空间。由于不知道系统的动力学方程或模型,而且从实际测量中仅能得到一个单标量的时间序列，因而从这个单标量的时间序列重构相空间，就成为时间序列分析的基础之一。

相空间重构的方法有多种，zui常用的是Packard^[5]等人提出的时间延迟坐标的思想，重构出所观测到的动力系统的相空间。他们指出，对一组观测标量s (1) ,s(2)…s ( n)中的某个值s ( n)可得到延迟T时刻后的测量值s(n+T)’然后使用这种时间延迟的集合构造出一个d维矢量

x (n)=[s (n),s (n + T),s (n + 2 T),…..,x(n + (d - 1) T)]

式中T为时间延迟;d为嵌入维。相空间重构的结果应保留原系统的动力学性质和几何性质，这要求重构变换是嵌入,这一点可由Takens^[6]定理保证。这时，这个矢量包含了原始的实际变量的动力学信息，这样就重构出了所需要的相空间。

7对实验数据的二维重构

Taken定理给出的仅是嵌入的充分条件，为了计算互信息，只需对系统进行二维重构即可。采集另一转速下电机的一组实验数据进行二维重构，延迟时间T从1取到140,计算出互信息值’相应的互信息函数曲线是图5,相应的自相关曲线见图6。

从这组数据测出的电机转速：由两个互信息相邻极大值的间隔可知电机旋转周期为13X2ms,则转速n= 60/(13 X2 X10^-3) = 2307. 7r/min。从这组数据的自相关函数图6可明显看出，自相关把噪声抹平了，能很好地提取出系统的周期信号。而互信息函数能反映出更多的动力学信息，由于噪声或其他细节的干扰，周期性减弱，但仍能从两个相邻的互信息极大值判断出系统所具有的周期特性。

选取几个延迟时间，做出二维重构图如图7(a)-(e)。

在T= 51,89两个互信息极大点处作出的重构图[如图7(a) , (e)]。

图7对一组实验数据的相空间二维重构图

轨道基本上挤压在主对角线上，这时失真zui大，关联zui强。这个结果表明，所讨论的系统是确定论的系统。当互信息处于相对较小值的点上做出的重构图，轨道开始展开。当互信息取极小值时，重构图轨道整体展开到zui大[如图7(b) ,(c)]。当T由小逐渐变大的过程中，轨道随着互信息值的增大而展开，随着互信息值的减小而压缩;轨道随着互信息值的再增大而再展开，随着互信息值的再减小而再压缩，不断重复此过程。这说明系统的动力学有周期性,互信息函数刻画了这种周期规律。

从图7(b)中可以明显看出，重构的曲线绕了两圈后与自身重合，这反映了系统具有二周期特性，即系统整体有一个大周期,里面还套着一个小周期。这个结果表明，系统除了有整体的转动周期外，还有因测试对象不是理想的转动，如电机本身的不均匀,及测试对象不光滑，此外还有环境及噪声等其它因素引起的附加的周期和非周期行为。

图7(c)的重构图与图7(b)的重构图有明显的区别，图7(b)中只有正向转动的行为,而图7(c)中除了有正向转动的行为外,还有逆向转动的部分。

另外它们的拓扑不同，主要表现在图7(c)中有两个交叉点，而图7(b)中只有一个交叉点。这些结果反映出，在电机转动这一简单的实验中，包含有复杂的动力学内容。但是这种逆向转动的原因，及不同的拓扑所包含的物理意义还不清楚，有待进一步研究。

8总结

本文将互信息函数应用于动态光散射检测电机转速的研究，准确地测出电机转速，这一结果与自相关函数法的结果一致。并且互信息函数法是真正意义上的相互关联，可得到更多系统的动力学信息，这些信息常常被淹没于噪声中。

同时，本文将相空间二维重构应用于动态光散射检测电机转速的研究中，从相空间重构图中可以得出许多的动力学信息，比如系统的二周期性，实验受外界的噪声干扰等。这些现象有待进一步研究。